变限积分求导的三个类型

文/李杨

下限为常数,上限为函数类型;下限为函数,上限为常数类型;上下限均为函数类型。如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,这就是积分变限函数。

积分变限函数是一类重要的函数,它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中.事实上,积分变限函数是产生新函数的重要工具,尤其是它能表示非初等函数,同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外,在许多场合都有重要的应用。

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先,它是由定积分来定义的;其次,这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。

若函数f(x)在区间[a,b]上可积,则积分变上限函数在[a,b]上连续。

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数在[a,b]上具有导数。

若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

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