参数方程的概念以及和普通方程的互化

一、参数方程的概念以及和普通方程的互化

1、参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x$，$y$都是某个变数$t$的函数$\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t),\end{cases}$并且对于$t$的每一个允许值，由该方程组所确定的点$M(x,y)$都在这条曲线上，那么该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数$x$，$y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2、参数方程和普通方程的互化

曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数$x$，$y$中的一个与参数$t$的关系，例如$x=f(t)$，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系$y=g(t)$，那么$\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t)\end{cases}$就是曲线的参数方程。

将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使$x$，$y$的取值范围保持一致。

3、直线的参数方程

（1）经过点$M_0(x_0,y_0)$，倾斜角为$α$的直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=x_0+t\cos α,\\y=y_0+t\sin α\end{cases}$（$t$为参数）。

$M(x,y)$是直线$l$上与参数值$t$对应的点。

（2）直线参数方程中参数$t$的几何意义：参数$t$的绝对值为直线$l$上的动点$M$到定点$M_0$的距离。

4、圆的参数方程

（1）圆心

圆心在原点$O$，半径为$r$的圆的参数方程为$\begin{cases}x=r\cosθ,\\y=r\sin θ\end{cases}$（$θ$为参数），其中参数$θ$的几何意义是$OM_0$绕点$O$逆时针旋转到$OM$的位置时，$OM_0$转过的角度。

推广到一般：圆心为$(a,b)$，半径为$r$的圆的普通方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，它的参数方程为$\begin{cases}x=a+r\cos θ,\\y=b+r\sin θ\end{cases}$（$θ$为参数）。

二、参数方程的相关例题

能化为普通方程$x^2+y-1=0$的参数方程为___

A．$\begin{cases}x=\sin t,\\y=\cos ^2t\end{cases}$（$t$为参数）

B．$\begin{cases}x=\tan φ,\\y=1-\tan ^2φ\end{cases}$（$φ$为参数）

C．$\begin{cases}x=\sqrt{1-t},\\y=t\end{cases}$（$t$为参数）

D．$\begin{cases}x=\cos θ,\\y=\sin ^2θ\end{cases}$（$θ$为参数）

答案：B

解析：A：$y=1-x^2,x∈[-1,1]$；B：$y=1-x^2,x∈\mathbf{R}$；C：$y=1-x^2,x∈[0,+∞)$；D：$y=1-x^2,x∈[-1,1]$，所以选B。