组合数公式和性质

一、组合数公式和性质

1、组合

一般地，从$n$个不同元素中取出$m(m\leqslant n)$个元素合成一组，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合。

2、组合数与组合数公式

（1）组合数

从$n$个不同元素中取出$m(m\leqslant n)$个元素的所有不同组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数，用符号$C^m_n$表示。

（2）组合数公式

${\rm C}^m_n=$$\frac{{\rm A}^m_n}{{\rm A}^m_m}=$$\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!}$，$n,m∈\mathbf{N}^*$，并且$m\leqslant n$。

组合数公式还可以写成：${\rm C}^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，规定${\rm C}^0_n=1$。

（3）组合数的性质

性质1：${\rm C}^m_n={\rm C}^{n-m}_n$。

性质2：${\rm C}^m{n+1}={\rm C}^m_n+C^{m-1}n$。

3、排列与组合的联系与区别

联系：排列与组合问题都是“从$n$个不同元素中取出$m$个元素”。

区别：组合问题与取出的元素顺序无关，而排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与取出元素的顺序有关。

排列：不仅要取出元素，还要按照顺序排列。

组合：只取不排。

二、组合数公式的相关例题

五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治、军事、外交，文化等各个方面的史实资料，在中国传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置。学校古典研读社的三名学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分1本，则5本书的分配方案种数是___

A．360 B．240 C．150 D．90

答案：C

解析：第一步，将5本书分为两类：$(2,2,1)$和$(3,1,1)$，则分类方法有$\frac{{\rm C}^2_5{\rm C}^2_3}{{\rm A}^2_2}+{\rm C}^3_5$种；第二步，分配给三名学生，有${\rm A}^3_3$种分法；由分步乘法计数原理得所求种数为$\left(\frac{{\rm C}^2_5{\rm C}^2_3{\rm C}^1_1}{{\rm A}^2_2}+{\rm C}^3_5\right){\rm A}^3_3=150$，故选C。