组合的定义和性质

一、组合的定义和性质

1、组合

一般地，从$n$个不同元素中取出$m$（$m≤n$）个元素合成一组，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合$。$

2、组合数与组合数公式

（1）组合数

从$n$个不同元素中取出$m$（$m≤n$）个元素的所有不同组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数，用符号${\rm C}^m_n$表示。

（2）组合数公式

${\rm C}^m_n$=$\frac{{\rm A}^m_n}{{\rm A}^m_m}$=$\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!}$，$n,m∈\mathbf{N^*}$，并且$m≤n$。

组合数公式还可以写成：${\rm C}^m_n$=$\frac{n!}{m!(n-m)!}$，规定${\rm C}^0_n=1$。

（3）组合数的性质

性质1：${\rm C}^m_n={\rm C}^{n-m}_n$。

性质2：${\rm C}^m_{n+1}={\rm C}^m_n+{\rm C}^{m-1}_n$。

3、排列与组合的联系与区别

联系：排列与组合问题都是“从$n$个不同元素中取出$m$个元素”。

区别：组合问题与取出的元素顺序无关，而排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与取出元素的顺序有关$。$

排列：不仅要取出元素，还要按照顺序排列$。$

组合：只取不排$。$

二、组合的相关例题

某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为___

A．960

B．1080

C．1560

D．3024

答案：B

解析：根据题意，分两种情况讨论:①选出的4盆花中没有菊花，有${\rm A}^4_5$=120种情况；②选出的4盆花中有1盆菊花，有${\rm C}^3_5×{\rm C}^1_4×{\rm A}^4_4$=960种情况，则一共有120+960=1 080种摆法，故选B。