换元法的定义和应用

一、换元法的定义和应用

1、换元法

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

2、换元法的应用

换元法，可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果。

二、换元法的相关例题

用换元法解方程$\frac{3x}{x^2-1}+$$\frac{x^2-1}{x}=$$\frac{7}{2}$，设$\frac{x}{x^2-1}=y$，那么换元后，化为整式方程正确的是___

A．$3y+\frac{1}{y}=\frac{7}{2}$

B．$2y^2-7y+2=0$

C．$3y^2-7y+1=0$

D．$6y^2-7y+2=0$

答案：D

解析：$\frac{3x}{x^2-1}+$$\frac{x^2-1}{x}=$$\frac{7}{2}$，设$\frac{x}{x^2-1}=y$，则原方程化为$3y+\frac{1}{y}=\frac{7}{2}$，即$6y^2-7y+2=0$，故选D。