2023四川省成都市第七中学高三一诊模拟考试数学(文)试题

文/心醉

2023四川省成都第七中学三一模拟考试数学(文)试题(word版)

(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设是虚数单位,则复数(   )

A.  B.  C.  D.

2.设集合,则(   )

A.  B.  C.  D.

3.函数的图象大致是(   )

A.  B.  

C.  D.

4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体,它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成,其直视图如图(其中四边形是为体现直观性而作的辅助线).当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时,其俯视图为(   )

  1.     B.  

C.  D.

5.执行下边的算法程序,若输出的结果为120,则横线处应填入(   )

A.  B.  C.  D.

6.设实数满足,则的最大值是(   )

A.-1  B.  C.1  D.

7.“”是“”的(   )

A.充分不必要条件               B.必要不充分条件

C.充要条件        D.既不充分也不必要条件

8.已知向量,则方向上的投影为(   )

A.2    B.-2  C.  D.

9.设抛物线的焦点为,准线为,点上,点上,且,若,则的值为(   )

A.  B.2   C.  D.3

10.设分别是的内角的对边,已知,则的大小为(   )

A.     B.   C.   D.

11.已知正三棱锥的高为6,内切球(与四个面都相切)表面积为,则其底面边长为(   )

A.18  B.12  C.  D.

12.已知函数(其中)的最小正周期为,函数,若对,都有,则的最小正值为(   )

A.  B.  C.  D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.某学校初中部共120名教师,高中部共180名教师,其性别比例如图所示,已知按分层抽样方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则工会代表中男教师的总人数为________.

14.已知圆轴相切,圆心在轴的正半轴上,并且截直线所得的弦长为2,则圆的标准方程是________.

15.已知均为锐角,且,则的最小值是________.

16.若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是________.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生依据要求作答.

17.正项等比数列中,已知.

的通项公式;

的前项和,,求.

18.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南镇2009~2018年梅雨季节的降雨量(单位:)的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:

“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量;

“江南梅雨无限愁”.镇的杨梅种植户老李也在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成).而乙品种杨梅2009~2018年的亩产量(/亩)与降雨量的发生频数(年)如列联表所示(部分数据缺失).请你帮助老李排解忧愁,他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小?

(完善列联表,并说明理由).

 

(参考公式:,其中

19.已知椭圆的离心率为,且经过点.

求椭圆的标准方程;

过点的动直线交椭圆于另一点,设,过椭圆中心作直线的垂线交于点,求证:为定值.

20.如图,在多面体中,交于一点,除以外的其余各棱长均为2.

作平面与平面的交线,并写出作法及理由;

求证:

若平面平面,求多面体的体积.

21.已知函数,其中为常数.

若曲线处的切线斜率为-2,求该切线的方程;

求函数上的最小值.

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.[选修4-4:坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中,曲线的参数标方程为(其中为参数,且),在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中,直线的极坐标方程为.

求曲线的极坐标方程;

求直线与曲线的公共点的极坐标.

23.[选修4-5:不等式选讲]

已知函数,且.

,求的最小值;

,求证:.

第七中学2019届高三一诊模拟考试

数学(文)试题参考答案

一、选择题

1-5:       6-10:      11、12:

二、填空题

13.12           14.            15.            16.

三、解答题

17.解:设正项等比数列的公比为,则

,化简得,解得(舍去).

所以的通项公式为.

得,.

所以.

18.解:频率分布直方图中第四组的频率为.

所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为

.

根据频率分布直方图可知,降雨量在200~400之间的频数为.

进而完善列联表如图.

亩产量\降雨量

200~400之间

200~400之外

合计

<600

2

2

4

5

1

6

合计

7

3

10

.

故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.

而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成,故老李来年应该种植乙品种杨梅.

19.解:因为椭圆的离心率,且,所以.

.故椭圆的标准方程为.

设直线的方程为一定存在,且).

代入,并整理得.

解得,于是.

,所以的斜率为.

因为,所以直线的方程为.

与方程联立,解得.

为定值.

20.解:过点(或)的平行线,即为所求直线.

交于一点,四点共面.又四边形边长均相等.

四边形为菱形,从而.

平面,且平面平面.

平面,且平面平面.

证明:取的中点,连结..

平面平面,故.

四边形为菱形,.又平面.

平面.

解:平面平面平面.

故多面体的体积.

21.解:求导得,由解得.

此时,所以该切线的方程为,即为所求.

,所以区间内单调递减.

(1)当时,在区间上单调递减,故.

(2)当时,在区间上单调递增,故.

(3)当时,因为,且在区间上单调递增,结合零点存在定理可知,存在唯一,使得,且上单调递增,在上单调递减.故的最小值等于中较小的一个值.

①当时,,故的最小值为.

②当时,,故的最小值为.

综上所述,函数的最小值.

22.解:消去参数,得曲线的直角坐标方程.

代入,得.

所以曲线的极坐标方程为.

的极坐标方程联立,消去.

展开得.

因为,所以.

于是方程的解为,即.

代入可得,所以点的极坐标为.

23.解:由柯西不等式得,(当且仅当时取等号),所以,即的最小值为

因为,所以

,故结论成立.


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