专题:
有界数列不一定收敛。也就是说，有界数列既可能是收敛数列，也可能是发散数列。数列有界是数列收敛的必要不充分条件。发散数列有可能是有界数列，有界数列也可能是发散数列。如：1，-1，1，-1，……为发散数列，同时也是有界数列。
有界数列是一定收敛吗
有界数列不一定收敛。
1.有界列是一种特殊的序列。如果一个数列{xn}的实数为 M (m)，使得 n为 n，具有 xn≤ M (xn≥ m)，则表示{xn}具有上（下）边界。一个既有上界，也有下界的序列叫作有界数列，也就是有界列。
2.数列 Xn若有一个常数 a，则任何给定的正数 q都有正整数 N，因此 n> N，则表示数列 Xn会收敛于 a，也就是 Xn是收敛数列，若数列 Xn收敛，则各收敛数列仅有一个限制，且收敛数列与子数列之间的关系。
3.函数的收敛性是有限度的，而有限制的也未必是收敛的。函数通常不讲收敛，只是说明当x有一定的变化趋势时，f(x)是否有极限。数列或者级数，才喜欢说收敛。收敛和有极限是一个意思，完全等价。收敛一定有界，有界不一定收敛。
收敛数列与其子数列间的关系，子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M，若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
数列是否收敛怎么判断
收敛数列：
一个数列是收敛的，如果它的项在某个值附近逐渐趋于稳定。这个稳定的值被称为数列的极限。数列收敛的定义可以通过以下方式判断：
1.极限存在：如果数列的极限存在，即存在一个实数 L，使得对于数列中的每个项 a_n，当 n 趋近无穷大时，a_n 趋近 L。
2.极限趋近稳定：极限 L 是一个稳定的值，这意味着对于足够大的 n，数列中的项 a_n 与 L 的差距可以被任意小地控制。
发散数列：
一个数列是发散的，如果它的项没有趋向于任何有限值，也就是说，它没有极限。数列发散的定义可以通过以下方式判断：
1.无极限：如果数列的项没有趋向于任何实数，即对于任何实数 L，不存在一个正整数 N，使得当 n 大于 N 时，a_n 与 L 的差距小于某个正数。
2.趋向于无穷大或无穷小：有时候，数列可能发散到无穷大或者趋向于无穷小。这也被认为是一种发散的情况。
要判断数列的收敛性或发散性，通常需要使用极限的定义和性质，以及一些数列收敛的判定定理，如夹逼定理、单调有界定理等。这些工具可以帮助你分析数列的性质并得出结论。